Телятников в 1987 году окончил с отличием факультет радиотехники и кибернетики МФТИ, продолжил обучение и научную деятельность по гранту Английского королевского общества в университете Уэльса. В начале карьеры он руководил технической частью проектов по созданию инфраструктуры фондового рынка в России. Впоследствии, решая задачи развития ИТ и бизнеса, Алексей входил в руководство компаний из отрасли страхования, финансов и ИТ.
В 2001 году Телятников стал директором по ИТ «Альфа-Групп», с 2002 по 2015 год – занимал руководящие посты в Росгосстрахе, банке «Связной» и Страховом доме ВСК, участвовал в проектах трансформации ИТ в Сбербанке, «Альфастраховании» и на ММВБ. С апреля 2015 по август 2016 года он занимал пост исполнительного директора компании «Тинькофф Страхование».